Mathematik-Vorkurs

Inhaltsverzeichnis

• 1 Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen.
• 1.1 Aufbau des Zahlensystems.
• 1.2 Abgeleitete Rechenregeln.
• 1.3 Übungsaufgaben.
• 2 Potenzen und Wurzeln.
• 2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.
• 2.2 Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten.
• 2.3 Potenzen mit reellen Exponenten.
• 2.4 Zusammenfassung.
• 2.5 Übungsaufgaben.
• 3 Logarithmen.
• 3.1 Begriff des Logarithmus.
• 3.2 Logarithmengesetze.
• 3.3 Zusammenfassung.
• 3.4 Übungsaufgaben.
• 4 Goniometrie.
• 4.1 Elementargeometrie.
• 4.2 Die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck.
• 4.3 Die Winkelfunktionen am Einheitskreis.
• 4.4 Sinus- und Kosinussatz.
• 4.5 Trigonometrische Formeln.
• 4.6 Übungsaufgaben.
• 5 Komplexe Zahlen.
• 5.1 Summe und Differenz.
• 5.2 Produkt.
• 5.3 Quotient.
• 5.4 Übungsaufgaben.
• 6 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten.
• 6.1 Übungsaufgaben.
• 7 Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik.
• 7.1 Aussage, Wahrheitswert, Aussageform.
• 7.2 Verknüpfung von Aussagen (Aussagenfunktionen).
• 7.3 Beziehungen zwischen den Aussagenfunktionen.
• 7.4 Existenz- und Universalaussagen.
• 7.5 Notwendige und hinreichende Bedingung.
• 7.6 Übungsaufgaben.
• 8 Beweismethoden.
• 8.1 Der direkte Beweis.
• 8.2 Der indirekte Beweis.
• 8.3 Beweis durch vollständige Induktion.
• 8.4 Übungsaufgaben.
• 9 Grundbegriffe der Mengenlehre.
• 9.1 Der Begriff der Menge.
• 9.2 Relationen zwischen Mengen.
• 9.3 Operationen mit Mengen.
• 9.4 Abbildungen.
• 9.5 Übungsaufgaben.
• 10 Kombinatorik — Binomischer Satz.
• 10.1 Die Fakultät.
• 10.2 Binomialkoeffizienten.
• 10.3 Der binomische Satz.
• 10.4 Kombinatorik.
• 10.5 Übungsaufgaben.
• 11 Lineare Algebra.
• 11.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.
• 11.2 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten.
• 11.3 Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten.
• 11.4Homogene Gleichungssysteme.
• 11.5 Übungsaufgaben.
• 12 Algebraische Gleichungen.
• 12.1 Nichtlineare Gleichungen.
• 12.2 Quadratische Gleichungen.
• 12.3 Gleichungen dritten Grades.
• 12.4 Wurzelgleichungen.
• 12.5 Übungsaufgaben.
• 13 Transzendente Gleichungen.
• 13.1 Logarithmische Gleichungen.
• 13.2 Exponentialgleichungen.
• 13.3 Goniometrische Gleichungen.
• 13.4 Übungsaufgaben.
• 14 Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen.
• 14.1 Ungleichungen.
• 14.2 Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen.
• 14.3 Übungsaufgaben.
• 15 Elementare Funktionen.
• 15.1 Zum Funktionsbegriff.
• 15.2 Darstellung von Funktionen.
• 15.3 Zu einigen elementaren Funktionen.
• 15.4 Eigenschaften von Funktionen.
• 15.5 Mittelbare Funktionen.
• 15.6 Umkehrfunktionen.
• 15.7 Übungsaufgaben.
• 16 Analytische Geometrie der Ebene.
• 16.1 Allgemeines.
• 16.2 Länge und Anstieg einer Strecke.
• 16.3 Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden.
• 16.4 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden.
• 16.5 Parallelverschiebung des Koordinatensystems.
• 16.6 Der Flächeninhalt eines Dreiecks.
• 16.7 Der Kreis.
• 16.8 Die Ellipse.
• 16.9 Die Hyperbel.
• 16.10 Die Parabel.
• 16.11 Übungsaufgaben.
• 17 Vektorrechnung.
• 17.1 Grundbegriffe.
• 17.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem.
• 17.3 Gerade und Ebene im Raum.
• 17.4 Produkte von Vektoren.
• 17.5 Übungsaufgaben.
• 18 Zahlenfolgen.
• 18.1 Einführung.
• 18.2 Begriff der Zahlenfolge.
• 18.3 Grenzwerte von Zahlenfolgen.
• 18.4 Berechnung von Grenzwerten.
• 18.5 Übungsaufgaben.
• 19 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen.
• 19.1 Grundlegende Begriffe.
• 19.2 Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit.
• 19.3 Eigenschaften stetiger Funktionen.
• 19.4 Die Stetigkeit der elementaren Funktionen.
• 19.5 Übungsaufgaben.
• 20 Differentialrechnung.
• 20.1 Differentialquotienten und Ableitung.
• 20.2 Differentiationsregeln.
• 20.3 Die Ableitung der elementaren Funktion.
• 20.4 Extremwerte und Wendepunkte.
• 20.5 Optimierungsprobleme.
• 20.6 Übungsaufgaben.
• 21 Integralrechnung.
• 21.1 Das unbestimmte Integral.
• 21.2 Das bestimmte Integral.
• 21.3 Zwei Integrationsverfahren.
• 21.4 Anwendungen der Integralrechnung.
• 21.5 Übungsaufgaben.
• Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben.