Höhere Mathematik für Ingenieure

Inhaltsverzeichnis

• Gewöhnliche Differentialgleichungen.
• 1 Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen.
• 1.1 Was ist eine Differentialgleichung?.
• 1.1.1 Differentialgleichungen als Modelle für technisch-physikalische Probleme.
• 1.1.2 Definition einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung.
• 1.2 Differentialgleichungen 1-ter Ordnung.
• 1.2.1 Geometrische Interpretation. Folgerungen.
• 1.2.2 Grundprobleme.
• 1.2.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz.
• 1.2.4 Anwendungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes.
• 1.2.5 Elementare Lösungsmethoden.
• 1.2.6 Numerische Behandlung.
• 1.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme 1-ter Ordnung.
• 1.3.1 Existenz- und Eindeutigkeitssätze.
• 1.3.2 Abhängigkeit von Anfangsdaten und Parametern.
• 1.3.3 Elementare Lösungsmethoden bei nichtlinearen Differentialgleichungen 2-ter Ordnung. Anwendungen.
• 1.4 Ebene autonome Systeme (Einführung).
• 1.4.1 Fortsetzbarkeit der Lösungen von Anfangswertproblemen.
• 1.4.2 Phasenebene, Orbits und Gleichgewichtspunkte.
• 1.4.3 Lineare autonome Systeme.
• 1.4.4 Ebene nichtlineare Systeme. Anwendungen.
• 2 Lineare Differentialgleichungen.
• 2.1 Lösungsverhalten.
• 2.1.1 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Systemen 1-ter Ordnung.
• 2.1.2 Globale Existenz und Eindeutigkeit bei Differentialgleichungen n-ter Ordnung.
• 2.2 Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung.
• 2.2.1 Fundamentalsystem.
• 2.2.2 Wronskideterminante.
• 2.3 Inhomogene lineare Systeme 1-ter Ordnung.
• 2.3.1 Inhomogene Systeme und Superposition.
• 2.3.2 Spezielle Lösungen und Variation der Konstanten.
• 2.4 Lineare Differentialgleichungen n-ter-Ordnung.
• 2.4.1 Fundamentalsystem und Wronskideterminante.
• 2.4.2 Reduktionsprinzip.
• 2.4.3 Variation der Konstanten.
• 3 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
• 3.1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung.
• 3.1.1 Homogene Differentialgleichungen und Konstruktion eines Fundamentalsystems.
• 3.1.2 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundzüge der Operatorenmethode.
• 3.1.3 Inhomogene Differentialgleichungen und Grundlösungsverfahren.
• 3.1.4 Anwendungen.
• 3.2 Lineare Systeme 1-ter Ordnung.
• 3.2.1 Eigenwerte und -vektoren bei symmetrischen Matrizen.
• 3.2.2 Systeme mit symmetrischen Matrizen.
• 3.2.3 Hauptvektoren. Jordansche Normalform.
• 3.2.4 Systeme mit beliebigen Matrizen.
• 3.2.5 Systeme und Matrix-Funktionen.
• 3.2.6 Zurückführung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Systeme höherer Ordnung.
• 3.2.7 Anwendungen.
• 4 Potenzreihenansätze und Anwendungen.
• 4.1 Potenzreihenansätze.
• 4.1.1 Differentialgleichungen mit regulären Koeffizienten.
• 4.1.2 Hermitesche Differentialgleichung.
• 4.2 Verallgemeinerte Potenzreihenansätze.
• 4.2.1 Differentialgleichungen mit singulären Koeffizienten.
• 4.2.2 Besselsche Differentialgleichung.
• 5 Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen.
• 5.1 Rand- und Eigenwertprobleme.
• 5.1.1 Beispiele zur Orientierung.
• 5.1.2 Randwertprobleme.
• 5.1.3 Eigenwertprobleme.
• 5.2 Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung.
• 5.2.1 Die schwingende Saite.
• 5.2.2 Physikalische Interpretation.
• 5.3 Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung).
• 5.3.1 Aufgabenstellung.
• 5.3.2 Das linearisierte Problem.
• 5.3.3 Das nichtlineare Problem. Verzweigungslösungen.
• Distributionen.
• 6 Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs.
• 6.1 Motivierung und Definition.
• 6.1.1 Einführende Betrachtungen.
• 6.1.2 Der Grundraum C0? (IR n).
• 6.1.3 Distributionen (im weiteren Sinn).
• 6.2 Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen.
• 6.2.1 Stetige Funktionen und Distributionen.
• 6.2.2 Die Diracsche Delta-Funktion.
• 7 Rechnen mit Distributionen. Anwendungen.
• 7.1 Rechnen mit Distributionen.
• 7.1.1 Grundoperationen.
• 7.1.2 Differentiation. Beispiele.
• 7.2 Anwendungen.
• 7.2.1 Grundlösungen der Wärmeleitungsgleichung.
• 7.2.2 Ein Differentialgleichungsproblem.
• Integraltransformationen.
• Vorbemerkungen.
• 8 Fouriertransformation.
• 8.1 Motivierung und Definition.
• 8.1.1 Einführende Betrachtungen.
• 8.1.2 Definition der Fouriertransformation. Beispiele.
• 8.2 Umkehrung der Fouriertransformation.
• 8.2.1 Umkehrsatz im Raum.
• 8.2.2 Umkehrsatz für stückweise glatte Funktionen.
• 8.2.3 Eindeutigkeit der Umkehrung.
• 8.3 Eigenschaften der Fouriertransformation.
• 8.3.1 Linearität.
• 8.3.2 Verschiebungssatz.
• 8.3.3 Faltungsprodukt.
• 8.3.4 Differentiation.
• 8.3.5 Fouriertransformation und temperierte Distributionen.
• 8.3.6 Fouriertransformation kausaler Funktionen und Hilbert-transformation.
• 8.4 Anwendungen auf partielle Differentialgleichungsprobleme.
• 8.4.1 Wärmeleitungsgleichung.
• 8.4.2 Potentialgleichung.
• 9 Laplacetransformation.
• 9.1 Motivierung und Definition.
• 9.1.1 Zusammenhang zur Fouriertransformation.
• 9.1.2 Definition der Laplacetransformation.
• 9.2 Umkehrung der Laplacetransformation.
• 9.2.1 Umkehrsatz und Identitätssatz.
• 9.2.2 Berechnung der Inversen.
• 9.3 Eigenschaften der Laplacetransformation.
• 9.3.1 Linearität.
• 9.3.2 Verschiebungssätze. Streckungssatz.
• 9.3.3 Faltungsprodukt.
• 9.3.4 Differentiation.
• 9.3.5 Integration.
• 9.3.6 Laplacetransformation und periodische Funktionen.
• 9.4 Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen.
• 9.4.1 Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
• 9.4.2 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten.
• 9.4.3 Differentialgleichungen mit unstetigen Inhomogenitäten.
• 10 ?-Transformation.
• 10.1 Motivierung und Definition.
• 10.1.1 Einführende Betrachtungen.
• 10.1.2 D-Transformation und Zusammenhang zur Laplacetransformation.
• 10.1.3 Definition der ?-Transformation.
• 10.2 Eigenschaften der ?-Transformation.
• 10.2.1 Grundlegende Operationen. Rechenregeln.
• 10.2.2 Umkehrung der ?-Transformation.
• 10.3 Anwendungen.
• 10.3.1 Lineare Differenzengleichungen.
• 10.3.2 Impulsgesteuerte Systeme.
• Symbole.